Bahnbrechende Forschungen polnischer Mathematiker über die Symmetrie aller Symmetrien

Polnischen Mathematikern ist es gelungen, ein wichtiges Problem bezüglich der Symmetrie aller Symmetrien zu lösen. Dies war für mehrere Jahrzehnte ein ungelöstes Problem - eine der größten Herausforderungen der geometrischen Theorie von Gruppen.

Die Ergebnisse der Arbeit von Dr. Marek Kaluba (Adam-Mickiewicz-Universität und Karlsruher Institut für Technologie), Prof. Dawid Kielak (Universität Oxford) und Prof. Piotr Nowak (Mathematisches Institut der Polnischen Akademie der Wissenschaften) wurden in einer der renommiertesten mathematischen Fachzeitschriften Annals of Mathematics veröffentlicht.

Bild Quelle: Pixabay

Wir haben ein bestimmtes, lange offenes Problem gelöst, indem wir gezeigt haben, dass eine bestimmte unendliche Familie von algebraischen Objekten - Gruppen - die Eigenschaft T hat und damit sehr unvereinbar mit der euklidischen Geometrie ist", resümiert Nowak.

Und Dr. Marek Kaluba fügt hinzu: Dank unserer Forschung haben wir bestimmte geometrische Aspekte von Gruppen verstanden, die alle Symmetrien kodieren.
Die Objekte mit der Eigenschaft T, die wir untersucht haben, haben sehr exotische geometrische Eigenschaften (sie können nicht als Symmetrien in der euklidischen Geometrie realisiert werden). Scheint dies von der Realität abgekoppelt zu sein? Oberflächlich betrachtet, ja. Aber das Wissen um diese komplizierte Eigenschaft von T hat bereits Anwendung gefunden. Es ermöglicht z.B. die Konstruktion von Expandern - Graphen mit einer großen Anzahl von Verbindungen, die u.a. in Streaming-Algorithmen verwendet werden. Und solche Algorithmen sind unter anderem für die Anzeige von Trends auf Twitter verantwortlich.

Die Frage, ob die von uns untersuchten Gruppen eine solche Eigenschaft T haben, erschien in den 90er Jahren im Druck. Als ich Doktorand war, war das ein Problem, von dem ich bei jeder zweiten Vorlesung und Konferenz über Gruppentheorie hörte - fasst Piotr Nowak zusammen.
Und Dawid Kielak ergänzt: Unser Ergebnis erklärt, wie ein bestimmter Algorithmus funktioniert. Es ist der Produkt-Ersetzungs-Algorithmus, der verwendet wird, wenn Sie Elemente aus einer großen Menge ziehen wollen, z. B. einer Menge mit mehr Elementen als die Anzahl der Teilchen im Universum. Diesen Algorithmus gibt es schon seit den 1990er Jahren und er funktioniert viel besser als erwartet. Unser Artikel erklärt, warum es so gut funktioniert - sagt Prof. Kielak.

Und er fügt hinzu: Die Informatik ist eine neue Physik. Was uns umgibt, sind nicht nur Teilchen, sondern zunehmend auch Algorithmen. Unsere Aufgabe als Mathematiker wird es sein, Algorithmen zu verstehen, zu zeigen, warum sie funktionieren oder nicht; warum sie schnell oder langsam sind.Die Wissenschaftler haben sich für ihren mathematischen Beweis auf Computerberechnungen verlassen. Die Verwendung von Computern zum Beweisen von Theoremen in der Mathematik wurde bisher nicht als besonders elegant angesehen. Die Gemeinschaft der theoretischen Mathematiker rümpfte meist die Nase über Computer. Hier aber funktionierte dieser moderne Ansatz außerordentlich gut.

Der Computer erledigte nur die lästige Arbeit. Aber es hat die Logik nicht ersetzt. Unsere Idee war es, die Reduktion eines unendlichen Problems auf ein endliches Problem anzuwenden - sagt Prof. Kielak.Und Dr. Marek Kaluba fügt hinzu: Wir haben unser Problem auf ein Optimierungsproblem reduziert und dann für diese Optimierung Standardwerkzeuge verwendet - Algorithmen, die Ingenieure für die Konstruktion von Bauelementen verwenden.

Der Computer bekam also die Aufgabe, eine Matrix zu finden, die bestimmte Kriterien erfüllt. Die Maschine erstellte eine Lösung, überprüfte, wie gut sie die gegebenen Bedingungen erfüllte, und verbesserte diese Matrix schrittweise, um die geringstmögliche Fehlerquote zu erreichen. Die Frage war nur, wie klein die Fehlerquote ist, die er erreichen kann.Es stellte sich heraus, dass der Fehler des Computers bei der letzten Näherung sehr, sehr klein war. Die Berechnung des Computers machte es also möglich - mit den richtigen mathematischen Argumenten - einen rigorosen Beweis zu erhalten.

Die vom Computer erstellte Matrix hatte 4,5 Tausend Spalten und 4,5 Tausend Zeilen. Marek Kaluba erklärt, dass das Problem, an dem sie arbeiteten, zunächst zu groß war, um es selbst mit einem Supercomputer zu lösen. Deshalb haben wir die internen Symmetrien dieses Problems genutzt, um die Suche nach einer Lösung zu erleichtern - sagt er. Und er erklärt, dass ein analoger Ansatz auch zur Lösung anderer Probleme im Bereich der Optimierung von Objekten verwendet werden kann, die durch geometrische Symmetrien gekennzeichnet sind. Diese Symmetrien (in algebraischer Form) werden auch im Optimierungsproblem beobachtbar sein und können zur Komplexitätsreduktion genutzt werden - sagt Dr. Kaluba. Und er fügt hinzu: Obwohl wir uns mit abstrakter Mathematik beschäftigen, wollen wir, dass unsere Software auch in technischen Anwendungen nützlich ist.